Ciąg Fibonacciego. Co obliczenia włoskiego geniusza mają wspólnego z ulubioną matematyką natury?

Ciąg Fibonacciego jest ciągiem liczb naturalnych, ułożonych w ten sposób, że pierwszy wyraz ciągu jest równy 0, drugi jest równy 1. Każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Mamy zatem: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 itd.

Autorem tego ciągu jest Leonardo Fibonacci z Pizy. Genialny włoski matematyk wyprowadził ten właśnie zestaw liczb w jednym ze swoich dzieł „Liber abaci”, i bazował na nim przy rozwiązaniu matematycznych zadań.

Złota proporcja, zwana też proporcją boską, polega na podzieleniu dowolnego odcinka na dwie części tak, aby całość miała się tak do większej części, jak większa część do mniejszej. Definicja złotej proporcji znana jest już od starożytności. Znalazła się w jednej z najważniejszych ksiąg w dziejach ludzkości, czyli w „Elementach Geometrii” Euklidesa. Wartość liczbowa tego podziału wynosi w przybliżeniu 1,618… i nazywana jest złotą liczbą Φ (fi).

W jaki sposób ciąg Fibonacciego związany jest ze złotą liczbą? Dzieląc dowolną liczbę ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą, otrzymamy wynik oscylujący wokół 1,618..., czyli właśnie złotej liczby Φ – (fi).

- Dlaczego tak trudno znaleźć czterolistną koniczynę? - pyta Kamil Sikora, absolwent Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie, w tekście opublikowanym na uczelnianej stronie www. Autor nie pozostawia czytelników z tą zagadką, tylko spieszy z odpowiedzią: - Powód jest bardzo prosty. Jeśli mamy do czynienia z roślinami, które nie były poddane żadnym mutacjom, to liczba ich kwiatów będzie odpowiadała liczbie Fibonacciego, w której nie występuje liczba cztery – tłumaczy Kamil Sikora, zajmujący się promocją nauki na UJ.

- Z kolei, biorąc pod uwagę proces ulistnienia, czyli tzw. spiralnej filotaksji, to okazuje się, że wyrastające czy to liście czy gałęzie, rosną zgodnie z liczbą Fibonacciego i jest to podyktowane między innymi tym, aby poszczególne liście czy gałęzie nie przykrywały siebie nawzajem. Dzięki temu maksymalnie wykorzystują powierzchnię potrzebną do czerpania słońca i deszczu. Ten określony sposób „wzrostu” możemy również zaobserwować, patrząc na kształt muszli, tych morskich i ślimaczych, obserwując kształt galaktyk spiralnych czy huraganów – dodaje autor.

Nie tylko matematycy wypatrują złotej liczby w przyrodzie. Pod takim właśnie hasłem Zespół Szkół Drzewnych i Ochrony Środowiska w Zwierzyńcu, wiosną 2020 roku zorganizował dla uczniów klas ósmych konkurs fotograficzny. Jak się okazało, ósmoklasiści wypatrzyli boskie proporcje nie tylko w muszlach ślimaków, ale też w sukulentach, pędach paproci, szyszkach, pąkach róży.

Boskich proporcji nie trzeba szukać daleko – wystarczy spojrzeć w lustro. I nie, nie chodzi o nadzwyczajną urodę, ale budowę i ogólne proporcje ludzkiego ciała. Człowiek ma dwie ręce i dwie nogi. Pięć zmysłów, trzy otwory w głowie: oczy i usta, trzy wypustki głowy: uszy i nos.

- Idealne ludzkie ciało ma zachowane proporcje zgodne z ciągiem Fibonacciego. Stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka, koniuszków palców do łokci, od łokcia do nadgarstka wynosi w każdym przypadku 1,618 (czyli Φ). Idąc dalej – ludzkie płuca czy spirale DNA również zachowują „złote proporcje” – przekonuje Kamil Sikora z Uniwersytetu Jagiellońskiego.

- Popatrzmy na budowę dłoni człowieka. Mamy dwie ręce, z których każda składa się z pięciu palców. Osiem palców składa się z trzech paliczków, a dwa kciuki składają się z dwóch paliczków – wylicza autor, który dodaje jednak, że szukając boskich proporcji czy złotego podziału, warto zachować… zasadę złotego środka.