Funkcja kwadratowa na maturze? To pewniak! Poznaj wymagania maturalne i zrozum funkcję kwadratową od podstaw

Funkcją w matematyce nazywamy pewne przyporządkowanie. Chodzi o przyporządkowanie każdemu elementowi jednego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru.

Prosty przykład:
Dzieci w klasie mają swoje numery w dzienniku. Uczniowie reprezentują jeden zbiór, a numery z dziennika drugi zbiór. Zakładając, że Jan Kowalski ma numer 7, powiemy, że funkcja (Jan Kowalski) jest przyporządkowana do numeru 7 w dzienniku. Zapis wyglądałby następująco:

• funkcja (Jan Kowalski) = 7

Tę samą funkcję można przedstawić na kilka sposobów. Za pomocą:

• grafu,
• opisu słownego,
• tabeli,
• wykresu,
• wzoru.

Przy czym tabele, wykresy i wzory stosuje się dla wartości liczbowych.

Posiadając wzór funkcji, można już przedstawić ją na wykresie czy w tabeli. Wzory są najpowszechniejszym sposobem przedstawiania funkcji. Zapisuje się je na dwa sposoby:

• y = wzór (np. x + 2) lub
• f(x) = wzór np. x + 2.

W różnych sytuacjach można wykorzystywać inne funkcje. Program szkoły ponadpodstawowej obejmuje w różnym zakresie następujące funkcje:

• funkcję liniową,
• funkcję kwadratową,
• funkcję wykładniczą,
• funkcję logorytmiczną.

• funkcja kwadratowa to taka, w której występuje x²,
• wykresem funkcji kwadratowej jet zawsze parabola,
• w funkcji kwadratowej oprócz potęgi może wystąpić x lub/oraz liczba stała. Wzór na funkcję kwadratową może wyglądać na przykład tak: f(x)=(x+6)2+1 lub tak: f(x)=x2+2x−1,
• wzór funkcji kwadratowej: f(x)=ax2+bx+c, gdzie a, b i c to wartości liczbowe,
• wzór funkcji kwadratowej najprościej jest zapisywać w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej.

Funkcję kwadratową przedstawia parabola. Ten rodzaj wykresu może wyglądać tak:

• dla f(x) = x^2 - 5

Ramiona paraboli są skierowane do góry, ponieważ funkcja jest dodatnia. Gdyby była ujemna, ramiona skierowane byłyby do dołu. Wiele zadań maturalnych wymaga narysowania wykresu funkcji kwadratowej oraz podania jej własności.

Każda parabola ma wierzchołek oraz dwoje ramion. Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, należy ustalić:

• czy funkcja jest dodatnia, czy ujemna (kierunek ramion),
• miejsca zerowe (jeżeli istnieją, można je określić przy pomocy cyrkla),
• punkt przecięcia z osią y,
• obliczyć wierzchołek paraboli.

Z wykresu funkcji można wyczytać określone dane, które nazywamy własnościami funkcji kwadratowej. Są to na przykład:

• zbiór wartości,
• miejsca zerowe,
• wartości dodatnie i ujemne funkcji,
• Punkt przecięcia z osią y,
• monotoniczność funkcji,
• różnowartościowość,
• parzystość i nieparzystość.

Wymagania określone w informatorze maturalnym dotyczące funkcji to aż 13 następujących punktów:

• określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
• oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
• odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
• odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze
• wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
• interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
• wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
• szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
• interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
• wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
• wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
• wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
• na podstawie wykresu funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎), 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏, 𝑦 = −𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(−𝑥);
• posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.